Zermelo-Fraenkel-Axiome

Zermelo-Fraenkel-Axiome,

 

Zermelo-Fraenkel-Skolem-Axiome [-'skuː-], die Axiome der von E. Zermelo, A. A. Fraenkel und T. Skolem entwickelten axiomatische Begründung der Mengenlehre. Neben dem Auswahlaxiom und dem Unendlichkeitsaxiom enthält sie weitere sechs Axiome. Das Extensionalitätsaxiom stellt fest, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Grundlegende Mengenbildungsaxiome sind das Zweiermengenaxiom: Zu je zwei Mengen existiert eine Menge, die jene beiden als Elemente enthält, das Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge existiert ihre Potenzmenge sowie das Vereinigungsmengenaxiom: Zu jedem Mengensystem gibt es eine Menge, die alle Elemente enthält, die zu mindestens einer Menge des gegebenen Systems gehören. Nach dem Fundierungs- beziehungsweise Regularitätsaxiom existiert keine unendliche Folge (a₁, a₂, a₃,. ..) mit der Eigenschaft a₁ [ni] a₂ [ni] a₃... Das Ersetzungsaxiom schließlich sichert die Existenz einer Abbildung, die z. B. zur Definition der Ordinalzahlen benötigt wird: Ist S (a, b) eine Aussage derart, dass für jedes Element a einer Menge A die Menge {b / S (a, b)} gebildet werden kann, so existiert eine Abbildung F mit Definitionsbereich A und F (a) = {b / S (a, b)} für alle a ∈ A.